Tal como indica el Diccionario panhispánico de dudas, en América se emplea el ordinal primero para designar el primer día de cada mes: primero de enero, primero de junio; mientras que en España es más normal el uso del cardinal uno: uno de enero, uno de junio.
Otros académicos amplían la respuesta y señalan que “Primero de Mayo” y “Primero de Enero” (sí, con mayúscula) es correcto pues son los nombres oficiales de dos días festivos.
Ligia Pérez de Pineda